Descrizione del modulo "Analisi numerica di equazioni integrali ed integro-differenziali non lineari in ambito biologico ed ingegneristico (ICT.P11.007.002)"

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  • Descrizione del modulo "Analisi numerica di equazioni integrali ed integro-differenziali non lineari in ambito biologico ed ingegneristico (ICT.P11.007.002)" (literal)
Potenziale impiego per bisogni individuali e collettivi
  • Software per risoluzione di equazioni integrali di Volterra; Software per risoluzione di equazioni integrali di Cauchy e di equazioni integro-differenziali di Prandtl; Una potenziale applicazione delle derivate frazionarie di funzioni appartenenti a spazi di Sobolev a derivate frazionarie è l'analisi degli equivalenti a bassa frequenza dei segnali tipicamente utilizzati nelle telecomunicazioni. Potenziali impieghi di alcune equazioni ellittiche a crescita anisotropa sono: - in fisica, per la dinamica di fluidi nel contesto di mezzi anisotropi quando le conduttività dei mezzi sono differenti in differenti direzioni; - in biologia, come modello per la propagazione di malattie epidemiche in domini eterogenei. (literal)
Tematiche di ricerca
  • Risoluzione numerica di equazioni integrali di Cauchy ed equazioni integro-differenziali di Prandtl di immediata applicazione a problemi di meccanica della frattura, come in problemi di ottica ed elettromagnetismo. Studio delle proprietà della trasformata di Hilbert sul semiasse. Sviluppo di tecniche di indagine sul comportamento asintotico delle soluzioni di diverse classi di equazioni discrete di Volterra traenti origine da modelli di dinamica delle popolazioni e da metodi numerici per equazioni integrali di Volterra. Studio della regolarità di soluzioni di equazioni ellittiche non lineari. Limitazioni per soluzioni di problemi di Dirichlet associati ad equazioni ellittiche non lineari a crescita anisotropa. Tali limitazioni saranno sotto forma di disuguaglianze puntuali tra il riordinamento delle soluzioni e la soluzione di un problema di Dirichlet estremale a simmetria sferica. Studio di proprietà di Spazi di Funzioni. Studio di disuguglianze tipo Moser-Trudinger per funzioni in spazi di Sobolev più generali, quali, ad esempio, gli spazi di Sobolev con derivate frazionarie. (literal)
Competenze
  • Il modulo aggrega ricercatori che hanno in comune competenze di analisi numerica ed in particolare competenze nella risoluzione numerica di problemi differenziali ed integrali di matematica applicata unitamente a : 1) Equazioni integrali di Volterra (VIE); 2) Equazioni discrete di Volterra; 3) Equazioni integrali singolari (SIE); 4) Equazioni integrodifferenziali (IDE); 5) Formule di quadratura per integrali: singolari e debolmente singolari di tipo algebrico, ipersingolari, oscillanti, su intervalli illimitati e per la trasformata di Hilbert; 6) Condizionamento e risoluzione numerica di sistemi lineari e non lineari connessi mediante metodi iterativi e algoritmi veloci; 7) Studio di Operatori di Approssimazione: Costruzione di processi d interpolazione ottimali; Quasi-proiettori polinomiali di tipo de la Vallée Poussin; Errore di migliore approssimazione, moduli di smoothness e K-funzionali; disuguaglianze polinomiali; 8) Wavelets polinomiali trigonometriche e algebriche, interpolanti e/o ortogonali su intervalli limitati, strettamente connesse agli operatori di Fourier, Lagrange e de la Vallée Poussin. 9) Equazioni ellittiche; 10) Spazi di Funzioni. (literal)
Obiettivi
  • Risoluzione numerica di equazioni integrali singolari di Cauchy ed integro-differenziali di Prandtl su domini limitati o illimitati ed alla presenza di eventuali nuclei di perturbazione, mediante metodi di proiezione in ambienti software standard di fatto. Sviluppo di metodi numerici per VIE che catturino le proprieta' strutturali del problema e che producano soluzioni accurate con un basso costo computazionale. Proprietà di regolarità per soluzioni di equazioni ellittiche non lineari con il dato in spazi di funzioni quali, ad esempio, spazi di Lorentz e spazi di Orlicz. L'obiettivo sarà, poi, trovare tra i suddetti spazi quelli ottimali. Limitatezza di soluzioni di problemi di Dirichlet associati ad equazioni ellittiche a crescita anisotropa rispetto al gradiente. A tale fine si utilizzeranno simmetrizzazioni non standard. La limitatezza permetterebbe, poi, di ottenere anche altri risultati di regolarità. Disuguaglianze tipo Moser-Trudinger per funzioni in spazi di Sobolev più generali, quali gli spazi di Sobolev con derivate frazionarie. L'obiettivo sarà lo spazio ottimale d'immersione. (literal)
Stato dell'arte
  • Molti problemi di evoluzione con memoria di interesse nello studio della dinamica delle popolazioni, in applicazioni economiche ed in problemi della biologia, della fisica e della chimica, si modellizzano con sistemi di equazioni integrali di Volterra (VIEs). Tali sistemi sono caratterizzati spesso da grandi dimensioni e/o da soluzioni con particolari proprieta'. La risoluzione numerica, oltre a risentire di tutte le problematiche comuni ai metodi per problemi evolutori, sono particolarmente complessi dal punto di vista computazionale a causa della natura ereditaria delle equazioni. Molti problemi di meccanica della frattura, di ottica e di elettromagnetismo si modellizzano invece con equazioni integrali di Cauchy ed equazioni integro-differenziali di Prandtl. In molti casi, non essendo nota la soluzione analitica, è fondamentale lo studio di appropriati metodi numerici di risoluzione, ed efficienti implementazioni dei corrispondenti algoritmi. La regolarità di soluzioni di equazioni ellittiche non lineari isotrope e anisotrope è molto studiata.Tratteremo equazioni con il dato in opportuni spazi, tra cui quelli di Lorentz, di Orlicz cercando lo spazio ottimale. (literal)
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